Question

如圖，點P是⊙O上任意一點，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P相切于點C，PF為⊙O的直徑，設⊙O與⊙P的半徑分別為R和r．
（1）求證：△PCB∽△PAF；
（2）求證：PA•PB=2Rr；
（3）若點D是兩圓的一個交點，連接AD交⊙P于點E，當R=3r，PA=6，PB=3時，求⊙P的弦DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質知∠PCB=90°、直徑所對的圓周角∠PAF=90°，∠PBC=∠F，易得△PCB∽△PAF；
（2）由（1）所得結論PA•PB=PC•PF即PA•PB=2Rr；
（3）求⊙P的弦DE的長是一個較復雜的問題，可先作出弦DE的弦心距PH．通過解直角三角形來求．
解答：（1）證明：∵AC切⊙P于C，PF為⊙O的直徑，
∴∠PCB=∠PAF=90°，
又∵∠CBP=∠F，
∴△PCB∽△PAF．

（2）證明：∵△PCB∽△PAF，
∴=，
∴PA•PB=PC•PF=2Rr；

（3）解：連接PD，過點P作PH⊥DE于H．
∵∠PCB=∠PHD=90°，∠CBP=∠F=∠HDP，
∴△CBP∽△HDP，
∴=．
∴PH•PB=PC•PD．
又∵PC=PD=r，
∴PH•PB=r²，
∴PH=．
∵PA=6，PB=3，
由（2）知PA•PB=2Rr，
∴r=，R=3．
∴PH===1．
∴DH==-1=，
∴DE=2．
點評：本題綜合考查了相似三角形是判定與性質、圓內接四邊形的性質及切線的性質．解第（1）、（2）問的解決運用了以下知識：切線的性質，圓周角定理的推論，圓的內接四邊形的性質．由此可以看出在兩圓的位置關系問題中，綜合知識的運用是至關重要的；第（3）問求弦DE的長是一個較復雜的問題，但還是離不開前面的基本知識“弦和弦心距親密緊相連”，由此可以看出解決問題的基本模式是相當重要的．