Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過(guò)A（0，﹣1）、B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為1．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥PM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過(guò)A（0，﹣1）、B（1，0）兩點(diǎn)，

∴0=k1﹣1，AO=BO=1，

解得：k1=1，

故一次函數(shù)解析式為：y=x﹣1，

∵△OBM的面積為1，BO=1，

∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2，

∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，

∴△AOB∽△MNB，

∴ = = ，

則BN=2，

故M（3，2），

則xy=k2=6，

故反比例函數(shù)解析式為：y=

（2）

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥AM，垂足為M，

∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，

∴△AOB∽△PMB，

∴ = ，

由（1）得：AB= = ，BM= =2 ，

故 = ，

解得：BP=4，

故P（5，0）

（3）

解：如圖3，∵△QBM∽△OAM，

∴ = ，

由（2）可得AM=3 ，

故 = ，

解得：QB= ，

則OQ= ，

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ，0）．

【解析】（1）利用已知點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得出答案，再利用△OBM的面積得出M點(diǎn)縱坐標(biāo)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可得出反比例函數(shù)解析式；（2）過(guò)點(diǎn)M作PM⊥AM，垂足為M，得出△AOB∽△PMB，進(jìn)而得出BP的長(zhǎng)即可得出答案；（3）利用△QBM∽△OAM，得出 = ，進(jìn)而得出OQ的長(zhǎng)，即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，掌握性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．