Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=DC．

（1）求證：△ABC≌△EAD ；

（2）如果AB⊥AC，求證：∠BAE= 2∠ACB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易證△ABC≌△CDA得BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD；再證∠B=∠EAD；進(jìn)而再證明AB=AE，即可得證；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H ，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余即可得證.

試題解析：（1）∵ AB//CD，

∴ ∠BAC=∠DCA .

又 ∠B=∠ADC，AC=CA，

∴ △ABC≌△CDA .

∴ BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD .

又 AE=DC，AB=DC，

∴ AB=AE .

∴ ∠B=∠AEB .

又 ∠ACB=∠CAD，

∴ AD//BC，

∴ ∠AEB=∠EAD .

∴ ∠B=∠EAD .

在△ABC與△EAD中，

∴ △ABC≌△EAD .

（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H .

∵ AB=AE，AH⊥BC .

∴ ∠BAE=2∠BAH .

在△ABC中，

∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=180°，

又 AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.

∴ ∠B+∠ACB=90°.

同理：∠B+∠BAH=90°.

∴ ∠BAH=∠ACB .

∴ ∠BAE=2∠ACB .