Question

【題目】如圖，將一個(gè)三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形上，并使它的直角頂點(diǎn)在對(duì)角線上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)，另一邊與射線相交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，，證明：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為，的長(zhǎng)為．

①直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出函數(shù)自變量的取值范圍；

②能否為等腰三角形？如果能，直接寫出相應(yīng)的值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①．②能為等腰三角形，．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可求解；

（2）①根據(jù)題意作圖，由正方形的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，同理可得，得到MP=NQ，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可知MP=x，NC=CD-DN=1-x，CQ=y，代入MP=NQ化簡(jiǎn)即可求解；

②由是等腰三角形，∠PCQ=135°，CP=CQ成立，代入解方程即可求解 ，

（1）證明：∵在正方形中，為對(duì)角線，

∴，，∵，

∴，，

∴，

又∵，

∴．

∵，∴．

又∵，∴，

∴，

在中，

∵

∴，∴．

（2）①如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，

同（1）可證，

∴MP=NQ，

在等腰直角三角形AMP中，AP==x

∴MP=x=AM,

∴NC=BM=AB-AM=1-x

故NQ=NC+CQ=1-x+y

∴x=1-x+y

化簡(jiǎn)得

當(dāng)P點(diǎn)位于AC中點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)恰好在C點(diǎn)，又AP＜AC=

∴

∴與之間的函數(shù)關(guān)系是（）

②當(dāng)時(shí)，能為等腰三角形，

理由：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，CQ=，CQ=AC-AP=，

由是等腰三角形，∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°，

∴CP=CQ成立，

即時(shí)，解得．