Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q.

(1)求證：△APQ∽△CDQ；

(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)t＝5時(shí)，DP⊥AC，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，進(jìn)而可得判定△APQ∽△CDQ；

（2）首先證明△ADQ∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后計(jì)算出AC長，進(jìn)而可得AQ長，再證明△AQP∽△ABC，可得，則，再解即可得到t的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：當(dāng)t=5時(shí)，DP⊥AC；

∵∠ADC=90°，DP⊥AC，

∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，

∵∠DAQ=∠CAD，

∴△ADQ∽△ACD，

∴，

AC=，

則AQ=，

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，

∴△AQP∽△ABC，

∴，

則，

解得：t=5，

即當(dāng)t=5時(shí)，DP⊥AC．