Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，E是⊙O外一點，過點E作⊙O的兩條切線ED、EB，切點分別為點D，B，連接AD并延長交BE延長線于點C，連接OE．
（1）試判斷OE與AC的關系，并說明理由；
（2）填空： ①當∠BAC=時，四邊形ODEB是正方形．
②當∠BAC=30°時， 的值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：OE∥AC，OE= AC，

理由：連接OD，

∵DE，BE是圓O的切線，

∴OD⊥DE，AB⊥BC，

∴∠ODE=∠ABC=90°，

∵OD=OB，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL）

∴∠1=∠2，

∵∠BOD=∠A+∠3，OA=OD，

∴∠A=∠3，

∴∠2=∠A，

∴OE∥AC，∵OA=OB，∴EC=EB，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE= AC，

（2）45°；4
【解析】解（2）①∵Rt△ODE≌Rt△OBE， ∴ED=EB，
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠ODE=∠B=90°，
∴四邊形ODEB是正方形；
②過O作OH⊥AD于H，

∵∠A=30°，OA=OD，
∴∠3=∠A=30°，
∴OD= AD，
∵∠ODE=90°，∠1=∠3=30°，
∴OD= DE，
∴ AD= DE，
∵AD=nDE，
∴n=4．
所以答案是：45°，4．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．