Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若CD=2AD，⊙O的直徑為10，求線段AC的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）要證CD為⊙O的切線，只要證CD垂直于對切點的半徑，故作輔助線：連接OC，由三角形三個內(nèi)角和為180°的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)，即能證出∠DCO =90°，從而得證；

（2）要求AB的長，就要考慮它是三角形中的線段或與三角形中的線段有關(guān)系，根據(jù)垂徑定理，只要作OF⊥AB，即有AB=2AF，故只要求出AF即可，由勾股定理和等量代換即可求得.

試題解析：（1）如圖，連接OC,

∵點C在⊙O上，OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°. ∴∠CAD+∠DCA=90°.

∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

又∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線.

（2）如圖，過O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.

∴四邊形OCDF為矩形，∴OC=FD，OF=CD.

∵CD=2AD，設(shè)AD=x，則OF=CD=2x，

∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x.

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化簡得：，解得或（舍去）.

∴AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，∴AB=2AF=6.

考點：1.三角形內(nèi)角和定理；2.等腰三角形的判定和性質(zhì)；3.圓的切線的判定；4.矩形的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.等量代換；7.解一元二次方程；8.垂徑定理.