Question

 (1)如圖4­3­18(1)，▱ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F.求證：AE＝CF.

(2)如圖4­3­18(2)，將▱ABCD(紙片)沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A₁處，點B落在點B₁處，設FB₁交CD于點G，A₁B₁分別交CD，DE于點H，I.求證：EI＝FG.

　　　

圖4­3­18

Answer 1

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.

又∵∠3＝∠4，

∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.

由(1)，得AE＝CF.

由折疊的性質(zhì)，得AE＝A₁E，∠A₁＝∠A，∠B₁＝∠B，

∴A₁E＝CF，∠A₁＝∠C，∠B₁＝∠D.

又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.

∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.

在△A₁IE與△CGF中，

∴△A₁IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG.