【題目】已知:△ABC中,AB=AC,∠B=α.
(1)如圖1,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)N,求證:BD+CE=BC.需補(bǔ)充條件∠EMN=(用含α的式子表示)補(bǔ)充條件后并證明;

(2)把(1)中的條件改為點(diǎn)D,E分別在邊BA、AC延長線上,線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)N(如圖2),并補(bǔ)充條件∠EMN=(用含α的式子表示),通過觀察或測量,猜想線段BD,CE與BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.

【答案】
(1)
α
(2)
α
【解析】解:(1)當(dāng)∠EMN= α?xí)r,BD+CE=BC.
理由:如圖1所示:連接DM.

∵AB=AC,
∴∠B=∠C=α.
∵M(jìn)N是DE的垂直平分線,
∴DN=NE,DM=EM.
在△MND和△MNE中,

∴△MND≌△MNE.
∴∠DMN=∠EMN= α.
∴∠DME=α.
∵∠C+∠CEM=∠DMB+∠DME,∠C=∠DME=α,
∴∠DMB=∠CEM.
在△BDM和△CME中,

∴△BDM≌△CME.
∴BD=MC,EC=BM.
又∵M(jìn)B+MC=BC,
∴BD+EC=BC.
2)當(dāng)∠EMN= α?xí)r,BD=CE+BC.

∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DBM=∠MCE.
∵M(jìn)N是DE的垂直平分線,
∴DN=NE,DM=EM.
在△MND和△MNE中,
,
∴△MND≌△MNE.
∴∠DMN=∠EMN= α.
∴∠EMD=∠B=α
∵∠BMD+∠MDB=α,∠EMC+∠CMD=α,
∴∠EMC=∠MDB.
在△BDM和△CME中,
,
∴△BDM≌△CME.
∴BD=MC,EC=BM.
又∵M(jìn)B+BC=MC,
∴EC+BC=BD.
(1)當(dāng)∠EMN= α?xí)r,BD+CE=BC.連接DM.先證明∠DME=α.接下來證明∠DMB=∠CEM.然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME,然后由全等三角形的性質(zhì)可證得BD=MC,EC=BM,結(jié)合條件MB+MC=BC,可證得問題的結(jié)論;(2)當(dāng)∠EMN= α?xí)r,BD=CE+BC.先證明∠DMN=∠EMN= α.從而得到∠EMD=∠B=α,接下來,依據(jù)等角的補(bǔ)角相等可證得∠DBM=∠MCE,然后依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系證明∠MDB=∠EMC,然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME,由全等三角形的性質(zhì)可得到BD=MC,EC=BM,結(jié)合MB+BC=MC可證得EC+BC=BD.

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