Question

已知：如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)P。

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O→P→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S。
求：①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1），解得， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）； （2）將y=0代入， ∴， ∴x=4，即OA=4， 做PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2， ∵tan∠POA=， ∴∠POA=60°， ∵OP=， ∴△POA是等邊三角形； （3）①當(dāng)0<t≤4時(shí)，如圖1， 在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t， ∴EF=，OF=t， ∴S=·OF·EF=， 當(dāng)4<t<8時(shí)，如圖2， 設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C， 易知：CE=PE=t-4，AE=8-t， ∴AF=4-t，EF=（8-t）， ∴OF=OA-AF=4-（4-t）=t， ∴S=（CE+OF）·EF =（t-4+t）×（8-t）=； ②當(dāng)0<t≤4時(shí)，，t=4時(shí)， ∴當(dāng)t=時(shí)，， 當(dāng)4<t<8時(shí)，， 時(shí)，， ∵， ∴當(dāng)時(shí)，。