Question

20．已知拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，使得點(diǎn)P、Q、B、O的四邊形為平行四邊形，求Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點(diǎn)法求解函數(shù)解析式．
（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB即可進(jìn)行解答；
（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時(shí)，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對角線時(shí)，由圖可知點(diǎn)A與P應(yīng)該重合．

解答 解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）．
將A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以此函數(shù)解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+x=4．
（2）如圖所示：

∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，$\frac{1}{2}$），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
當(dāng)m=-2時(shí)，S有最大值為：S=-4+8=4．
答：m=-2時(shí)S有最大值S=4．
（3）設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x²+x-4）．
當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，
∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，
又∵直線的解析式為y=-x，
則Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（$\frac{1}{2}$x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2$\sqrt{5}$．
x=0不合題意，舍去．
如圖，當(dāng)BO為對角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）或（4，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形及梯形的面積求法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論求得結(jié)果．