Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝x2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為　－1 　時(shí)，矩形AOBC是正方形；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 時(shí)，

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②將拋物線y＝x2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y＝－x2，試判斷拋物線y＝－x2經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：　 二次函數(shù)綜合題。

專題：　 代數(shù)幾何綜合題。www. xkb1.com

分析：　 (1)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠AOC＝45°，所以∠AOD＝45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(－a，a)，然后利用點(diǎn)A在拋物線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解；

(2)①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系，然后利用點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；

②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG＝OE，BG＝AE，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A、B的拋物線解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過點(diǎn)C，如果經(jīng)過點(diǎn)C，把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出變換過程即可．

解答：　 解：(1)如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵矩形AOBC是正方形，

∴∠AOC＝45°，

∴∠AOD＝90°－45°＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a，a)(a≠0)，

則(－a)2＝a，

解得a1＝－1，a2＝0(舍去)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)－a＝－1，

故答案為：－1；

(2)①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

當(dāng)x＝－ 時(shí)，y＝(－ )2＝ ，

即OE＝ ，AE＝ ，

∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，

∠AOE＋∠EAO＝90°，

∴∠EAO＝∠BOF，

又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

設(shè)OF＝t，則BF＝2t，

∴t2＝2t，

解得：t1＝0(舍去)，t2＝2，

∴點(diǎn)B(2，4)；

②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，

∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，

∴∠EAO＝∠CBG，

在△AEO和△BGC中， ，

∴△AEO≌△BGC(AAS)，

∴CG＝OE＝ ，BG＝AE＝ ．

∴xc＝2－ ＝ ，yc＝4＋ ＝ ，

∴點(diǎn)C( ， )，

設(shè)過A(－ ， )、B(2，4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋bx＋c，由題意得， ，

解得 ，

∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2，

當(dāng)x＝ 時(shí)，y＝－( )2＋3× ＋2＝ ，所以點(diǎn)C也在此拋物線上，

故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2＝－(x－ )2＋ ．

平移方案：先將拋物線y＝－x2向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位得到拋物線y＝－(x－ )2＋ ．

點(diǎn)評(píng)：　 本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，要注意利用點(diǎn)的對(duì)稱、平移變換來解釋拋物線的對(duì)稱平移變換，利用點(diǎn)研究線也是常 用的方法之一．