Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，那么得到的所有陰影三角形的面積之和為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知所有白色部分的小直角三角形都與陰影部分的三角形相似，那么它們的面積比應該等于相似比的平方，它們的相似比為AC：CD，AC的長已知，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法可求得CD，由此求得陰影部分占△ABC面積的比例大小，從而可求得陰影部分的面積和．

∵DC1∥AC，

∴Rt△ACD∽△CDC1，同理可證：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2，…；

即白色部分的小直角三角形與陰影部分的小直角三角形逐一對應相似，

∵如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC=

在Rt△ABC中，CD⊥AB，

由S=ACBC=ABCD，故CD=

∴AC：CD=2：

∴白色部分小直角三角形的面積和：陰影部分小直角三角形的面積和=AC2：CD2=4：3，

故S陰影=S△ABC=××2×2=．