Question

如圖一個大正方形紙片，進行如下操作：第一次：將正方形紙片，剪成四個大小一樣的小正方形；第二次：將其中的一個小正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形；第三次：將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如此循環(huán)進行下去；
（1）填表：

次數(shù)	1	2	3	4	…	n
正方形個數(shù)	4	7			…

（2）如果到第100次，共剪出多少個小正方形？
（3）若要剪出2011個小正方形，需要進行多少次操作？

Answer 1

解：（1）觀察圖形知道：剪一次，有4個小正方形，
剪兩次有7個小正方形，
剪三次有10個小正方形，
剪四次有13個小正方形，
規(guī)律：每多剪一刀就會增加3個小正方形，
故第n個共有4+3（n-1）=3n+1個，
（2）令n=100得3n+1=3×100=301，
答：共剪除301個正方形；
（3）令3n+1=2011，解得n=670
答：共需剪670刀．
分析：（1）觀察圖形及表格發(fā)現(xiàn)每多剪一刀就會增加3個小正方形，據(jù)此填表即可；
（2）根據(jù)得到的規(guī)律得到通項公式，然后代入求值即可；
（3）將2011代入求得的通項公式求解即可．
點評：本題考查了圖形的變化類問題，找到規(guī)律并用通項公式表示出來是解決本題的關(guān)鍵．