Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，D為弦BC的中點，延長OD交弧BC于點E，點F為OD的延長線上一點且滿足∠OBC＝∠OFC，

(1)求證：CF為⊙O的切線；

(2)若四邊形ACFD是平行四邊形，求sin∠BAD的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根據(jù)垂徑定理得到OF⊥BC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OCF=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過D作DH⊥AB于H，根據(jù)三角形的中位線的想知道的OD=AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=AC，設(shè)OD=x，得到AC=DF=2x，根據(jù)射影定理得到CD=x，求得BD=x，根據(jù)勾股定理得到AD=x，于是得到結(jié)論．

解：（1）連接OC，

∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠OCB=∠F，
∵D為BC的中點，
∴OF⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CF為⊙O的切線；
（2）過D作DH⊥AB于H，
∵AO=OB，CD=DB，
∴OD=AC，
∵四邊形ACFD是平行四邊形，
∴DF=AC，
設(shè)OD=x，
∴AC=DF=2x，
∵∠OCF=90°，CD⊥OF，
∴CD2=ODDF=2x2，
∴CD=x，
∴BD=x，
∴AD=x，
∵OD=x，BD=x，
∴OB=x，
∴DH=x，
∴sin∠BAD==．