Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與該拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)

（1）若，求直線的函數(shù)表達(dá)式

（2）若點(diǎn)將線段分成的兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)

（3）如圖②，在（1）的條件下，若點(diǎn)在軸左側(cè)，過點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且位于軸左側(cè)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），，，

【解析】

（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)M、P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式；

（2）分和兩種情況根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線y=x+2上列式求解即可；

（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可.

（1）如圖①，設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為M．

∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（-2，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將M（-2，0），P（0，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，
解得，．
故直線AB的解析式為y=x+2；

（2）①

設(shè)（a＞0）

∵點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上，

∴，

∴，

∴

解得，，（舍去）

②

設(shè)（a＞0）

∵點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上，

∴，

∴，

∴

解得：，（舍去）

綜上或

（3），

，

①

此時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，為等腰直角三角形

②

此時(shí)滿足，左側(cè)還有也滿足

，，，四點(diǎn)共圓，易得圓心為中點(diǎn)

設(shè)，

∵

且不與重合

，

為正三角形，

過作，則，

∵

∴

∴

解得，

∴

∵

∴

∴

解得，

∴

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，，，.