Question

如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形；

（2）MN²=ND²+DH²，
理由：連接NH，
∵△ADH由△ABM旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN=NH，
∴MN²=ND²+DH²；

（3）設(shè)AG=BC=x，則EC=x-4，CF=x-6，
在Rt△ECF中，
∵CE²+CF²=EF²，即（x-4）²+（x-6）²=100，x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD===12，
∵BM=3，
∴MD=BD-BM=12-3=9，
設(shè)NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH²=ND²+DH²，即y²=（9-y）²+（3）²，解得y=5，即MN=5．
分析：（1）由圖形翻折變換的性質(zhì)可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結(jié)論；
（2）連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)AG=x，則EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長(zhǎng)，設(shè)NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換及勾股定理，解答此類題目時(shí)常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．