Question

（2010•自貢）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=30°，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長(zhǎng)線于D，CD=3cm，
（1）求⊙O的直徑；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M以3cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以1.5cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤2），連接MN，當(dāng)t為何值時(shí)△BMN為直角三角形？并求此時(shí)該三角形的面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓與切線的位置關(guān)系，可知∠BCD=∠A=30°，且AB為直徑，可推出AC=CD，再由三角函數(shù)關(guān)系可得出⊙O的直徑．
（2）經(jīng)分析，∠BNM或∠BMN可以為直角，即，此時(shí)MN∥AC，有速度關(guān)系可列出關(guān)系式．再根據(jù)面積公式即可算出．
解答：解：（1）連接OC，
∵CD為切線，
∴∠DCO=90°
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠ACO=30°
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，∠OCB=60°，
∴∠BCD=30°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠A=30°，∠D=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD=，即AB=6cm．

（2）如圖1：當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，MN∥AC，
∴，得t=1，即MN恰為△ACB的中位線，
∴=cm²，
當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，cos∠MBN=，
即cos60°=，解得t=1.6，
此時(shí)，MN=BM=（6-3t）=1.2，
S=×1.2×1.2=cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓切線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由MN∥AC，得出兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等從而解決問題．