Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點（端點除外），過點P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當動點P運動到何處時，BP2=BDBC；

（3）當△PCD的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣4過點A（4，0）、B（﹣2，0）根據待定系數法求解即可；

（2）設點P運動到點（x，0）時，有BP2=BDBC，在中，令x=0時，則y=﹣4，即可求得點C的坐標，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根據相似三角形的性質求解即可；

（3）由△BPD∽△BAC，根據相似三角形的性質及二次函數的性質求解即可.

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點

∴，解得

∴拋物線的解析式為；

（2）設點P運動到點（x，0）時，有BP2=BDBC，

在中，令x=0時，則y=﹣4

∴點C的坐標為（0，﹣4）

∵PD∥AC

∴△BPD∽△BAC

∴

∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2

∴，即

∵BP2=BDBC，

∴，解得x1=，x2=﹣2（不合題意，舍去）

∴點P的坐標是（，0）

∴當點P運動到（，0）時，BP2=BDBC；

（3）∵△BPD∽△BAC，

∴

∴，

又∵，

∴

∵＜0，∴當x=1時，S△BPC有最大值為3

∴點P的坐標為（1，0）時，△PDC的面積最大。