Question

如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O，1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0，2)，且其面積為8．

 　　(1)求此拋物線的解析式；

 　　(2)如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R．

 　�、偾笞C：PB＝PS；

 　�、谂袛唷鱏BR的形狀；

 　　③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

 

　　　　　　　　　　　　　　　

 　

Answer 1

⑴解：方法一：

 　　∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0．2)，

 　　∴OB＝2，

 　　∵矩形CDEF面積為8，∴CF=4.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)．F點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)。

 　　設(shè)拋物線的解析式為．其過三點(diǎn)A(0，1)，C(-2．2)，F(xiàn)(2，2)。

 　　得解這個方程組，得

 　　∴此拋物線的解析式為    …………    (3分)

 　　方法二：

 　　 ∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0．2)，∴OB＝2，

 　　∵矩形CDEF面積為8，∴CF=4.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)。  ………    (1分)

 　　  根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。  其過點(diǎn)A(0，1)和C(-2．2)

 　　  ………  解這個方程組，得

 　　  此拋物線解析式為

 　　(2)解：

 　　　　　　　　　　

 　�、龠^點(diǎn)B作BN，垂足為N．

 　　  ∵P點(diǎn)在拋物線y=十l上．可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

 　　  ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

 　　∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

 　　  在RtPNB中．

 　　  PB＝

 　　∴PB＝PS＝………………………… (6分)

 　�、诟鶕�(jù)①同理可知BQ＝QR。

 　　∴，

 　　又∵ ，

 　　∴，

 　　同理SBP＝………………………… (7分)

 　　∴

 　　∴

 　　∴.

 　　∴ △SBR為直角三角形．………………………… (8分)

 　�、鄯椒ㄒ唬�

 　　　　　　　　　　　　

 　　設(shè)，

 　　∵由①知PS＝PB＝b．，。

 　　∴

 　　∴�！�……………………… (9分)

 　　假設(shè)存在點(diǎn)M．且MS＝，別MR＝ 。

 　　若使△PSM∽△MRQ，

 　　則有。

 　　即

 　　∴。

 　　∴SR＝2

 　　∴M為SR的中點(diǎn).………………………… (11分)

 　　若使△PSM∽△QRM，

 　　則有。

 　　∴。

 　　∴。

 　　∴M點(diǎn)即為原點(diǎn)O。

 　　  綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時．PSM∽MRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

 　　方法二：

 　　  若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，

 　　∵，

 　　∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。

 　　  當(dāng)PSM∽MRQ時．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

 　　  由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知PMS+QMR＝。

 　　∴�！�……………………… (9分)

 　　  取PQ中點(diǎn)為N．連結(jié)MN．則MN＝PQ=．……………… (10分)

 　　∴MN為直角梯形SRQP的中位線,

 　　∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)  …………………… (11分)

 　　當(dāng)△PSM∽△QRM時，

 　

 　　又，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。

 　　∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O。

 　　綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時，PSM∽△MRQ；

 　　當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時，PSM∽△Q RM