Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分∠BAC交⊙O于D，點M為△ABC的內心．
（1）求證：BC=

2

DM；
（2）若DM=5

2

，AB=8，求OM的長．

Answer 1

分析：（1）連結MC、DC、BD，根據(jù)內心的性質得∠ACM=∠BCM，根據(jù)圓周角定理由BC為直徑得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，則∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，再次根據(jù)圓周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判斷△BDC為等腰直角三角形，則BC=

2

DC，然后利用三角形外角性質證明∠DMC=∠DCM得到DC=DM，所以有BC=

2

DM；
（2）作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，根據(jù)（1）的結論由DM=5

2

得到BC=10，根據(jù)勾股定理計算出AC=6，根據(jù)切線長定理可計算出△ABC的內切圓半徑為r=2，則可得到MF=2，CF=4，由OC=5得到OF=1，最后在Rt△OMF中利用勾故定理計算出OM．

解答：（1）證明：連結MC、DC、BD，如圖，
∵點M為△ABC的內心，
∴MC平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴BC=

2

DC，
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM，
而∠DCM=∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DC=DM，
∴BC=

2

DM；
（2）解：作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，如圖，
∵DM=5

2

，
∴BC=

2

DM=10，
而AB=8，
∴AC=

BC2-AB2

=6，
設△ABC的內切圓半徑為r，
∵點M為△ABC的內心，
∴MH=ME=MF=r，
∴四邊形AHME為正方形，
∴AH=AE=r，則CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，
而BF+FC=BC，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴MF=2，CF=6-2=4，
∵OC=5，
∴OF=5-4=1，
在Rt△OMF中，OM=

MF2+OF2

=

5

．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了圓周角定理和勾股定理．