【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側(cè)),與y軸交于點C(0,﹣3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求直線BC的函數(shù)表達式;
(3)點E為y軸上一動點,CE的垂直平分線交CE于點F,交拋物線于P、Q兩點,且點P在第三象限.
①當線段PQ= AB時,求tan∠CED的值;
②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,請直接寫出點P的坐標.
溫馨提示:考生可以根據(jù)第(3)問的題意,在圖中補出圖形,以便作答.

【答案】
(1)

解:∵拋物線的對稱軸為直線x=1,

∴b=﹣2

∵拋物線與y軸交于點C(0,﹣3),

∴c=﹣3,

∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2﹣2x﹣3;


(2)

解:∵拋物線與x軸交于A、B兩點,

當y=0時,x2﹣2x﹣3=0.

∴x1=﹣1,x2=3.

∵A點在B點左側(cè),

∴A(﹣1,0),B(3,0)

設過點B(3,0)、C(0,﹣3)的直線的函數(shù)表達式為y=kx+m,

,∴

∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x﹣3;


(3)

解:

①∵AB=4,PQ= AB,

∴PQ=3

∵PQ⊥y軸

∴PQ∥x軸,

則由拋物線的對稱性可得PM= ,

∵對稱軸是直線x=1,

∴P到y(tǒng)軸的距離是

∴點P的橫坐標為 ,

∴P( ,

∴F(0, ),

∴FC=3﹣OF=3﹣ =

∵PQ垂直平分CE于點F,

∴CE=2FC=

∵點D在直線BC上,

∴當x=1時,y=﹣2,則D(1,﹣2),

過點D作DG⊥CE于點G,

∴DG=1,CG=1,

∴GE=CE﹣CG= ﹣1=

在Rt△EGD中,tan∠CED=

②P1(1﹣ ,﹣2),P2(1﹣ ,﹣ ).

設OE=a,則GE=2﹣a,

當CE為斜邊時,則DG2=CGGE,即1=(OC﹣OG)(2﹣a),

∴1=1×(2﹣a),

∴a=1,

∴CE=2,

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的縱坐標為﹣2,

把y=﹣2,代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x2﹣2x﹣3得:x=1+ 或1﹣

∵點P在第三象限.

∴P1(1﹣ ,﹣2),

當CD為斜邊時,DE⊥CE,

∴OE=2,CE=1,

∴OF=2.5,

∴P和F的縱坐標為:﹣ ,

把y=﹣ ,代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x2﹣2x﹣3得:x=1﹣ ,或1+ ,

∵點P在第三象限.

∴P2(1﹣ ,﹣ ).

綜上所述:滿足條件為P1(1﹣ ,﹣2),P2(1﹣ ,﹣ ).


【解析】已知C點的坐標,即知道OC的長,可在直角三角形BOC中根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長,即可得出B點的坐標.已知了△AOC和△BOC的面積比,由于兩三角形的高相等,因此面積比就是AO與OB的比.由此可求出OA的長,也就求出了A點的坐標,然后根據(jù)A、B、C三點的坐標即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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(1)求拋物線的解析式;
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(1)用“<”將a,b,c連接起來.

(2)b﹣a   1(填“<”“>”,“=”)

(3)化簡|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|

(4)用含a,b的式子表示下列的最小值:

①|(zhì)x﹣a|+|x﹣b|的最小值為   ;

②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值為   

③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值為   

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,

________三角形,

________

又∵

________,即________;

又∵________(自己所作),

是線段________的垂直平分線;

________

________

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