Question

【題目】已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值= ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：
作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)，
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CP= AC=3，BP= BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
所以答案是：5．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．