Question

（2006•大連）如圖，點P（-m，m²）拋物線：y=x²上一點，將拋物線E沿x軸正方向平移2m個單位得到拋物線F，拋物線F的頂點為B，拋物線F交拋物線E于點A，點C是x軸上點B左側一動點，點D是射線AB上一點，且∠ACD=∠POM．問△ACD能否為等腰三角形？若能，求點C的坐標；若不能，請說明理由．

說明：
（1）如果你反復探索，沒有解決問題，請寫出探索過程（要求至少寫3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以從①、②中選取一個條件，完成解答（選�、俚�7分；選取②得10分）．①m=1；②m=2．

Answer 1

【答案】分析：由平移的性質求得點A、B的坐標，不難得出∠POM=∠AOB=∠ABO=∠ACD，如果△ACD是等腰三角形，可分三種情況：
①AC=AD，∠ACD=∠ADC，已證得∠AOB=∠ABO=∠ACD=∠ADC，此時C、D與O、B重合，C點坐標即為原點坐標．
②CA=CD，如圖11，∠AOC=∠ABO+∠OAB，∠CBD=∠AOB+∠OAB，因此∠AOC=∠OBD，不難得出△AOC≌△CBD，那么OA=BC，可在直角三角形AOH中，求出OA的長，即可得出BC的值，進而可求出C點坐標．
③DA=DC，此時∠DAC=∠ACD，而上面證得∠ACD=∠ABO=∠POM，那么∠CAB=∠ABC，即CA=CB，可設出C點坐標，然后表示出BC、AC、CH的長，在直角三角形ACH中，根據勾股定理即可求出C的坐標．
解答：
解：△ACD能為等腰三角形．
由平移的性質可得，A點坐標
為（m，m²），B點坐標為（2m，0）．
設C點坐標為（x，0），過A點作AH⊥x軸，垂足為H，連接AO，∵A點坐標為（m，m²），
∴H點坐標為（m，0），AH=m²．
∵B點坐標為（2m，0），
∴OH=BH=m．∴AB=AO，
∴∠ABC=∠AOB，由已知可得，AB∥OP，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB．
若△ACD為等腰三角形，則AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
當AC=AD時
如圖10，∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠ADC=∠ACD=∠ABC，
∴點D與點B重合，點C與點O重合，∴C點坐標為（0，0）．
當CD=CA時，

方法一：
如圖，∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ABC=∠AOB，
∴∠CBD=∠AOC．
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠ABC=∠BCD+∠ADC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△BCD≌△OAC，∴BC=OA．
在Rt△AOB中，OA²=OH²+AH²=m²+（m²）²，
∴BC=OA=m．
∴OC=BC-OB=m-2m，
∴C點坐標為（2m-m，0）．

方法二：
如圖11，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA．
又∵∠ACD=∠ABC，∠CAB=∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠CDA，
∴∠CAD=∠ACB，∴BC=AB．∴BC=OA．
余下部分同方法一．
當DA=DC時，
如圖12，∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴AC=BC．
∵BC=2m-x，
∴AC=2m-x．
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²．
∴（2m-x）²=（m²）²+（m-x）²．
∴x=．
∴C點坐標為（，0）．
探索過程一：
由已知可得：AB∥OP，
∴∠ABC=∠POM．
∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠POM=∠ABC．
探索過程二：
若△ACD為等腰三角形，則有三種可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
當AC=AD時，
∴∠ACD=∠ADC．
選擇條件①
當m=1時，P點坐標為（-1，1），由平移性質可得，A點坐標為（1，1），B點坐標為（2，0）．
過A點作AH⊥x軸，垂足為H，連接AO，
∴H點坐標為（1，0），AH=1，OH=BH=1．
∴AB=AO，∴∠ABC=∠AOB=45°，∠OAB=90度．
由已知可得，OP∥AB，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=45度．
若△ACD為等腰三角形，則有三種可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
當AC=AD時，
如圖13，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ABC=∠ADC=∠AOB，
∴點D與點B重合，點C與點O重合，
∴C點坐標為（0，0）．
當CA=CD時，
方法一：
如圖14，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ACB=∠AOB+∠OAC，
∴∠ACD+∠DCB=∠AOB+∠OAC，
∴∠DCB=∠OAC．
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△BCD≌△OAC，
∴BC=OA．
在∵DA=DC中，OB²=OA²+AB²=2OA²，
∴4=2OA²，
∴OA=．∴OC=OB-BC=OB-OA=2-，
∴C點坐標為（2-，0）．

方法二：
如圖14，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
又∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠CDA=∠ACB．
∴∠CAD=∠ACB，
∴AB=BC．
在Rt△ACH中，OB²=OA²+AB²=2AB²，
∴4=2AB²，
∴AB=．∴BC=，
∴OC=OB-BC=2-，
∴C點坐標為（2-，0）．
當DA=DC時，
如圖15，∵DA=DC，
∴∠ACD=∠DAC．
∵∠ACD=45°，
∴∠DAC=45°，
∵∠OAB=90°，
∴AC平分∠OAB，
又∵AO=AB，
∴C是OB中點，
∴C點坐標為（1，0）．
選擇條件②
當m=2時，P點坐標為（-2，4），由平移的性質得，
A點坐標為（2，4），B點坐標為（4，0）．
連接OA，過A點作AH⊥x軸，垂足為H，
∴H點坐標為（2，0），AH=4，OH=BH=2，
∴AB=AO，
∴∠ABC=∠AOB．
由已知可得，OP∥AB，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB．
若△ACD為等腰三角形，則有三種可能，
即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
當AC=AD時，
如圖16．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
又∵∠ACD=∠ABC=∠AOB，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=∠ADC．
∴點D與點B重合，點C與點O重合，
∴C點坐標為（0，0）．（5分）
當CA=CD時，
方法一：
如圖17，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ABC=∠ADC+∠BCD，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠ACD=∠ABC，
∴∠ADC=∠ACB．（6分）
又∵∠ABC=∠AOB，
∴∠CBD=∠AOC，
∴△CBD≌△AOC，
∴BC=OA．（7分）
在Rt△AOH中，OA²=AH²+OH²=4²+2²=20，
∴BC=OA=2．∵OC=BC-OB=2-4，
∴C點坐標為（4-2，0）．

方法二：
如圖17，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠CDA=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB．
∴AB=BC．
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=4²+2²=20，
∴BC=AB=2．∴OC=BC-OB=2-4．
∴C點坐標為（4-2，0）．
當DA=DC時，
如圖18，∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC．
∴AC=BC．
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²，
∴（4-x）²=4²+（2-x）²，
∴x=-1．∴C點坐標為（-1，0）．
點評：本題主要考查了拋物線的性質和二次函數圖象的平移、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，本題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類討論，以免漏解．本題綜合性強，難度較高．