Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的兩個實數(shù)根．
（1）是否存在實數(shù)a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由；
（2）求使（x₁+1）（x₂+1）為負(fù)整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁x₂=，x₁+x₂=-；根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得a的取值范圍；
（1）將已知等式變形為x₁x₂=4+（x₂+x₁），即=4+，通過解該關(guān)于a的方程即可求得a的值；
（2）根據(jù)限制性條件“（x₁+1）（x₂+1）為負(fù)整數(shù)”求得a的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)取a的整數(shù)值．
解答：解：∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x₁x₂=，x₁+x₂=-；
∵一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0有兩個實數(shù)根，
∴△=4a²-4（a-6）•a≥0，且a-6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+（x₁+x₂），即=4-，
解得，a=24＞0；
∴存在實數(shù)a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，a的值是24；

（2）∵（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-+1=-，
∴當(dāng)（x₁+1）（x₂+1）為負(fù)整數(shù)時，a-6＞0，且a-6是6的約數(shù)，
∴a-6=6，a-6=3，a-6=2，a-6=1，
∴a=12，9，8，7；
∴使（x₁+1）（x₂+1）為負(fù)整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值有12，9，8，7．
點評：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)）的二次項系數(shù)a≠0．