【題目】如圖,B、D為線段AH上兩點,△ABC、△BDE和△DGH都是等邊三角形,連結(jié)CE并延長交AH的延長線于點F,點G恰好在CF上,△ABC的外接圓⊙O交CF于點M.

(1)求證:AC 2=CMCF;
(2)若CM= ,MF= ,求圓O的半徑長;
(3)設(shè)等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S1、S2、S3 , 請直接寫出S1、S2、S3之間的等量關(guān)系.

【答案】
(1)解:連結(jié)MB,則∠CMB=180°﹣∠A=120°,

∵∠CBF=60°+60°=120°,

∴∠CMB=∠CBF,

∵∠BCM=∠FCB,

∴△CMB∽△CBF,

,即CB2=CMCF,

∵AC=CB,

∴AC2=CMCF


(2)解:過點O作ON⊥AB于點N,

則∠CMB=120°,

∵∠CBF=120°,

∴∠CMB=∠CBF,

∵∠BCF=∠BCM,

∴△CMB∽△CBF,

= ,

即CB2=CMCF,

∵AC=CB=AB,CM= ,MF=

∴CB2= ,

AB=AC=BC= ,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠OBA=30°,

∴ON= BO,

∴cos30°= = = ,

解得:BO=

即⊙O的半徑為: ;


(3)解:由題意可得:AC∥BE∥DG,BC∥DE∥HG,

= =

=( 2

=( 2

= 即S22=S1S3

∴所求的數(shù)量關(guān)系是S22=S1S3


【解析】1)連結(jié)MB易證∠CMB=∠CBF,則可以得到△CMB∽△CBF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可證明;
(2)過點O作ON⊥AB于點N,易證∠CMB=∠CBF,則可以得到△CMB∽△CBF,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得AB=AC=BC,從而得出△ABC是等邊三角形,故∠OBA=30°,根據(jù)含30直角三角形的邊之間的關(guān)系得出ON= BO,根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的定義列出方程求解即可;
(3)由題意可得:AC∥BE∥DG,BC∥DE∥HG,根據(jù)平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論。
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平行線分線段成比例(三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例),還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,D是BC上的點.求證:BD2+CD2=2AD2

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【題目】已知,如圖,△ABC是等邊三角形,四邊形BDEF是菱形,其中線段DF的長與DB相等,將菱形BDEF繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn),甲、乙兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)在此旋轉(zhuǎn)過程中,有如下結(jié)論.
甲:線段AF與線段CD的長度總相等;
乙:直線AF和直線CD所夾的銳角的度數(shù)不變;
那么,你認(rèn)為( )

A.甲、乙都對
B.乙對甲不對
C.甲對乙不對
D.甲、乙都不對

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下列內(nèi)容,并答題:我們知道,計算n邊形的對角線條數(shù)公式為: n(n﹣3).
如果一個n邊形共有20條對角線,那么可以得到方程
整理得n2﹣3n﹣40=0;解得n=8或n=﹣5
∵n為大于等于3的整數(shù),∴n=﹣5不合題意,舍去.
∴n=8,即多邊形是八邊形.
根據(jù)以上內(nèi)容,問:
(1)若一個多邊形共有14條對角線,求這個多邊形的邊數(shù);
(2)A同學(xué)說:“我求得一個多邊形共有10條對角線”,你認(rèn)為A同學(xué)說法正確嗎?為什么?

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【題目】一方有難八方支援,某市政府籌集了抗旱必需物資120噸打算運(yùn)往災(zāi)區(qū),現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇,每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示:(假設(shè)每輛車均滿載)

車型

汽車運(yùn)載量(噸/輛)

汽車運(yùn)費(fèi)(元/輛)

1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運(yùn)送,需運(yùn)費(fèi)元,問分別需甲、乙兩種車型各幾輛?

2)為了節(jié)約運(yùn)費(fèi),該市政府可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運(yùn)送,已知他們的總輛數(shù)為輛,你能通過列方程組的方法分別求出幾種車型的輛數(shù)嗎?

3)求出哪種方案的運(yùn)費(fèi)最?最省是多少元?

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【題目】在結(jié)束了380課時初中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)后,唐老師計劃安排60課時用于總復(fù)習(xí),根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容所占課時比例,繪制如下統(tǒng)計圖表(圖1~圖3),請根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:

(1)圖1中“統(tǒng)計與概率”所在扇形的圓心角為度;
(2)圖2、3中的a= , b=;
(3)在60課時的總復(fù)習(xí)中,唐老師應(yīng)安排多少課時復(fù)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題情境

1)如圖①,已知,試探究直線有怎樣的位置關(guān)系?并說明理由.

小明給出下面正確的解法:

直線的位置關(guān)系是

理由如下:

過點(如圖②所示)

所以(依據(jù)1

因為(已知)

所以

所以

所以(依據(jù)2

因為

所以(依據(jù)3

交流反思

上述解答過程中的依據(jù)1”依據(jù)2”,依據(jù)3”分別指什么?

依據(jù)1”________________________________;

依據(jù)2”________________________________;

依據(jù)3”________________________________

類比探究

2)如圖,當(dāng)、、、滿足條件________時,有

拓展延伸

3)如圖,當(dāng)、、滿足條件_________時,有

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩人在一環(huán)形場地上鍛煉,甲騎自行車,乙跑步,甲比乙每分鐘快200m,兩人同時從起點同向出發(fā),經(jīng)過3min兩人首次相遇,此時乙還需跑150m才能跑完第一圈.

求甲、乙兩人的速度分別是每分鐘多少米?列方程或者方程組解答

若兩人相遇后,甲立即以每分鐘300m的速度掉頭向反方向騎車,乙仍按原方向繼續(xù)跑,要想不超過兩人再次相遇,則乙的速度至少要提高每分鐘多少米?

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【題目】隨著我國人口增長速度的減慢,小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減少.下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢:

(1)上表中_____是自變量,_____是因變量.

(2)你預(yù)計該地區(qū)從_____年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1 000.

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