Question

【題目】為了迎接疫情徹底結(jié)束后的購物高峰，某運(yùn)動(dòng)品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格	甲	乙
進(jìn)價(jià)（元/雙）	m	m﹣20
售價(jià)（元/雙）	240	160

已知：用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同．

（1）求m的值；

（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量不超過100雙，問該專賣店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？

Answer 1

【答案】（1）m＝100；（2）共有6種方案；（3）應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋95雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙．

【解析】

（1）用總價(jià)除以單價(jià)表示出購進(jìn)鞋的數(shù)量，根據(jù)兩種鞋的數(shù)量相等列出方程求解即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，表示出乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200﹣x）雙，然后根據(jù)總利潤列出一元一次不等式組，求出不等式組的解集后，再根據(jù)鞋的雙數(shù)是正整數(shù)解答；

（3）設(shè)總利潤為W，根據(jù)總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．

解：（1）依題意得，

＝，

整理得，3000（m﹣20）＝2400m，

解得m＝100，

經(jīng)檢驗(yàn)，m＝100是原分式方程的解，

所以，m＝100；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200﹣x）雙，

根據(jù)題意得，，

解得95≤x≤100，

∵x是正整數(shù)，

100﹣95+1＝6，

∴共有6種方案；

（3）設(shè)總利潤為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80×（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），

①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，

所以，當(dāng)x＝100時(shí)，W有最大值，

即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋100雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋100雙；

②當(dāng)a＝60時(shí)，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；

③當(dāng)60＜a＜70時(shí)，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，

所以，當(dāng)x＝95時(shí)，W有最大值，

即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋95雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙．