Question

如圖1，直線AB：與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），（t＞1）．以BP為直徑畫圓，交直線AB于點(diǎn)E．

（1）求∠ABO的度數(shù)．
（2）當(dāng)t=5時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
（3）如圖2將△AOB沿直線AB翻折180°，得到△ABC．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
②探究：當(dāng)t取何值時(shí)，△EPC和△AOB相似．

Answer 1

解：（1）∵直線AB：與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（0，），B（1，0）．
在直角△AOB中，∵tan∠ABO==，
∴∠ABO=60°；

（2）當(dāng)t=5時(shí)，BP=4，
在直角△EBP中，∠BEP=90°，∠EBP=∠ABO=60°，
∴BE=BP=2；

（3）①過點(diǎn)C作CM⊥OA于M．
∵將△AOB沿直線AB翻折180°，得到△ABC，
∴△AOB≌△ACB，
∴∠OAB=∠CAB=30°，AO=AC=，
∴∠MAC=60°．
在直角三角形ACM中，∠AMC=90°，AC=，∠CAM=60°，
∴CM=，AM=，
∴OM=OA-AM=．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）；
②∵△EPC和△AOB相似，∠CEP＜∠BEP=90°，
∴可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，且△EPC有一個(gè)角為30°．
設(shè)E（x，-x+），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．
過點(diǎn)E作EN⊥OP于N，由射影定理，得EN²=BN•NP，
即（-x+）²=（x-1）（t-x），
整理，得t=4x-3．
分如下幾種情況：
第一種：如果∠CPE=90°，∠CEP=30°，那么CP=CE，
即=，
整理，得20x²-46x+27=0，
∵△=（-46）²-4×20×27＜0，
∴原方程無解；
第二種：如果∠CPE=90°，∠ECP=30°，那么EP=CE，
即=，
整理，得44x²-90x+45=0，
∵△=（-90）²-4×44×45=180，
∴x=，
∴t=4x-3=，
又∵t＞1，
∴t=；
第三種：如果∠PCE=90°，∠CEP=30°，那么CP=PE，
即=，
整理，得13x²-30x+18=0，
∵△=（-30）²-4×13×18＜0，
∴原方程無解；
第四種：如果∠PCE=90°，∠CPE=30°，那么CE=PE，
即=，
整理，得x²=0，
∴x=0，
∴t=4x-3=-3，不合題意舍去，
∴原方程無解．
綜上，可知當(dāng)t=時(shí)，△EPC和△AOB相似．
分析：（1）先由直線AB的解析式求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值求∠ABO的度數(shù)；
（2）由∠EBP=∠ABO，已知BP，解直角三角形EBP求BE；
（3）①過點(diǎn)C作CM⊥OA于M，在直角三角形ACM中，已知AC及∠CAM的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②要使△EPC和△AOB相似，而△AOB是有一個(gè)角為30°的直角三角形，只需△EPC也是有一個(gè)角為30°的直角三角形．由于∠CEP＜∠BEP=90°，所以有可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，然后分情況討論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)，直角三角形、全等三角形、相似三角形的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用分類討論的思想解決最后一問是解題的關(guān)鍵．