Question

【題目】如圖1，點(diǎn)EF在直線l的同一側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交直線L于點(diǎn)K，則點(diǎn)K即為所求．

（1）（實(shí)踐運(yùn)用）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．

①求該拋物線的解析式；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PC的最小值．

（2）（知識(shí)拓展）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．

【解析】分析：（1）①由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可將拋物線的解析式變形為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，此題得解；

②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱可得出連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱軸為直線x=1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出線段BC的長(zhǎng)即可；

（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)（三角形兩邊之差小于第三邊），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．

詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．

∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．

②∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，如圖3所示．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．

利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線為y=x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．

（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)，如圖4所示．

利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．