Question

【題目】已知：拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，﹣3），與x軸正半軸交于點(diǎn)B（m，0）、C（6m、0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求m的值；
（2）求這條拋物線的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)∠PQD=90°且PQ=2DQ時(shí)，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

∴D（0，﹣3）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣m）（x﹣6m）．

把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：6am2=﹣3①，a（7﹣m）（7﹣6m）=﹣3②，

∴a（7﹣m）（7﹣6m）=6am2．

∵a≠0，

∴（7﹣m）（7﹣6m）=m2．

解得：m=1

（2）

解：∵6am2=﹣3，

∴a=﹣ =﹣ ．

將a=﹣ ，m=1代入得：y=﹣ x2+ x﹣3．

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x﹣3

（3）

解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0）則OQ=﹣a

﹣∵∠DQP=90°，

∴∠PQO+∠OQD=90°．

又∵∠ODQ+∠DQO=90°，

∴∠PQE=∠ODQ．

又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，

∴△ODQ∽△EQP．

∴ = = = ，即 = = ，

∴QE=6，PE=﹣2a．

∴P的坐標(biāo)為（a+6，﹣2a）

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：﹣ （a+6）2+ （a+6）﹣3=﹣2a，整理得：a2+a=0，

解得a=﹣1或a=0．

當(dāng)a=﹣1時(shí)，Q（﹣1，0），P（5，2）；當(dāng)a=0時(shí)，Q（0，0），P（6，0）．

綜上所述，Q（﹣1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）

【解析】（1）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣m）（x﹣6m），把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得m的值；（2）由6am2=﹣3，m=1可求得a的值，然后代入拋物線的解析式即可；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0）則OQ=﹣a，然后證明△ODQ∽△EQP，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得QE=6，PE=﹣2a，則P的坐標(biāo)為（a+6，﹣2a），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．