Question

如圖，直線(xiàn)y=-

1

2

x+4交x軸A，交y軸于B，M為OA上一點(diǎn)，⊙M經(jīng)過(guò)B、A兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于一點(diǎn)C，交y軸的負(fù)半軸于一點(diǎn)D．
（1）求M的坐標(biāo)．
（2）BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙M于E，直線(xiàn)BA繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)經(jīng)過(guò)△OBM的內(nèi)心I時(shí)交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，求線(xiàn)段AK的長(zhǎng)．
（3）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作⊙M的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，過(guò)AB兩點(diǎn)的動(dòng)圓⊙N交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，交y軸的負(fù)半軸于H．有兩個(gè)結(jié)論：①BH+BG的值不變，②BH-BG的值不變．其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)作出判斷，并求其值．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B的坐標(biāo)，則M是線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，求得AB的垂直平分線(xiàn)的解析式，然后求得與x軸的交點(diǎn)即可；
（2）根據(jù)內(nèi)心的定義以及等腰三角形的性質(zhì)，和等角對(duì)等邊可以證得：△BAK是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求得AB，即可求得AK的長(zhǎng)；
（3）過(guò)A作AF⊥PG于F，連接AG，AH，可以證得：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH，則BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）直線(xiàn)y=-與x軸．y軸交點(diǎn)分別是A（8，0），B（0，4）．
∵⊙M過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴M必在AB的垂直平分線(xiàn)上．
∴M所在直線(xiàn)的斜率就是2，且過(guò)點(diǎn)（4，2）（該點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)）
∴M所在直線(xiàn)的方程就是y=2x-6
∵M(jìn)在OA上，即M在x軸上
∴M（3，0）
（2）I是△OBM內(nèi)心∴∠OBK=∠KBE
∵AB是⊙M的弦
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OBK+∠KBE+∠MAB+∠MBA=90°
∴∠KBE+∠MBA=45°
∵BE是⊙M的直徑
∴∠BAK=90°
∴∠K=45°
∴△BAK是等腰Rt△
∴AK=AB
AB=

82+42

=4

5

，
∴AK=4

5

；
（3）過(guò)A作AF⊥PG于F，連接AG，AH
A（8，0），B（0，4）．
設(shè)P（8，y）
∵AP∥OB，AP=BP
∴∠PBA=∠ABO．
∴OA=OF，
在Rt△AOB和Rt△AFB中

AB=AB AP=AF

，
∴△AOB≌△AFB（HL），
∴BO=BF
又在Rt△FGA和Rt△AOH中

∠FGA=∠OHA AF=AO

∴Rt△FGA≌Rt△AOH
∴FG=HO
∴BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB=8．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)、圓、圓的內(nèi)心、以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的綜合應(yīng)用，正確證明：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH是解題的關(guān)鍵．