Question

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到新位置圖形的一種變換．
活動一：如圖l，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD =2，BD =1，且四邊形DECF是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE(如圖2所示)，小明一眼就看出答案，請你寫出陰影部分的面積：________．
活動二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC =5，CD =3，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，小明仍運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADC(如圖4所示)，則：
(1)四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：___________；
(2)AE的長是______________．
活動三：如圖5，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC繞點B逆時針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連結(jié)AE.若AB =2，DC =4，求△ABE的面積．

Answer 1

1     正方形       2

活動一：1；………2分 活動二：正方形，4；……6分  活動三：2……10分
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設(shè)BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進而得出AE的長；
（3）過點B作于點G，過點E作EF與AB的延長線交于點F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值。
解：活動一：
∵四邊形DECF是正方形，      ∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=x      ∵AC²+BC²=AB²， ∴9x²+（x）²=9，
解得：x=，∴DE=DF=，AE=，BF=,
∴S_△ADE+S_△BDF=1，        ∴S_陰影=1；
故答案為：1；
活動二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC     ∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，    ∴四邊形AECG是矩形，
∵AE=AG，    ∴四邊形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，    ∴設(shè)AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，      解得：x=4，     ∴AE=4．
故答案為：正方形，4；
活動三：過點B作于點G，過點E作EF與AB的延長線交于點F.
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，     
∴四邊形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，                                              
∴CG=DC-DG=4-2=2．                                
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，     
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，      ∴CG=EF=2．      ∴S_△ABE=AB×EF=2.