Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，于軸交于點(diǎn)，連接，已知．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)D，求的長(zhǎng)的最大值；

（3）若點(diǎn)E是軸上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的三角形是腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或

【解析】

（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，c的值即可得出結(jié)論；

（2）求出直線BC的解析式為，設(shè)設(shè)，則，從而得到，進(jìn)而得到結(jié)論；

（3）分BC為底邊或腰進(jìn)行求解即可．

解：（1）把，分別代入，得

解得

∴拋物線的解析式為．

（2）由（1）知，拋物線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

∴．

設(shè)直線BC的解析式為，

把，分別代入，

得

解得

∴直線BC的解析式為．

∵點(diǎn)在線段BC上，點(diǎn)D在拋物線上，軸，

∴設(shè)，則，

∴．

∴當(dāng)，即時(shí)，PD的長(zhǎng)的值最大，

PD的長(zhǎng)的最大值為．

（3）在中，，根據(jù)勾股定理，得

．

①若，則點(diǎn)是BC的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，

點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合，

∴．

②若，則，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴．

③若，則或．

設(shè)點(diǎn)，則．

∴．

∴．

綜上所述，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．