Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設(shè)運動時間為t秒．

（1）填空：點A坐標(biāo)為 ，拋物線的解析式為 ；

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位／秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向E以2個單位／秒的速度運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動．連接PQ，是否存在實數(shù)t，使得PQ所在的直線經(jīng)過點D，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位／秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）點A坐標(biāo)為（1，4），；（2）當(dāng)t=1（s）時，PQ所在的直線經(jīng)過點D；（3）當(dāng)t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

【解析】

試題分析：（1）利用矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）和對稱軸x=1可得點A得坐標(biāo)（1，4），設(shè)拋物線的解析式為 把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a= -1；（2）若PQ所在的直線經(jīng)過點D，因為DE//CP，所以△DEQ∽△PCQ，從而可得，解方程即可（3）先求出直線AC的解析式y(tǒng)=﹣2x+6，把P（1，4﹣t），代入可表示出點Q的坐標(biāo)，用含有t的代數(shù)式表示出S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，∴點A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為 把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得，解得a=﹣1．故拋物線的解析式為

即；

（2）若PQ所在的直線經(jīng)過點D，因為DE//CP，所以△DEQ∽△PCQ，所以, ，，解得（舍去），當(dāng)t=1（s）時，PQ所在的直線經(jīng)過點D．

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵A（1，4），C（3，0），則，解得．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q點的橫坐標(biāo)為1+，

將x=1+代入中，得y=4﹣．

∴Q點的縱坐標(biāo)為4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=×2（t﹣）=，

∴當(dāng)t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

考點：1．矩形的性質(zhì)；2．待定系數(shù)法；3．相似三角形的判定與性質(zhì)；4．二次函數(shù)的性質(zhì)．