Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可．
（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
（3）△MBC的面積可由S_△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．
解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a-×4-2，即：a=；
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=x-2；
設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：
x+b=x²-x-2，即：x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=x-4．
所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
過M點作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識點較多，綜合性很強．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．