Question

如圖（1），A、B兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線L₁、L₂是街道兩邊沿），現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過(guò)街人行天橋．

（1）天橋應(yīng)建在何處才能使由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的路程最短？在圖（2）中作出此時(shí)橋PQ的位置，簡(jiǎn)要敘述作法并保留作圖痕跡．（注：橋的寬度忽略不計(jì)，橋必須與街道垂直）．
（2）根據(jù)圖（1）中提供的數(shù)據(jù)計(jì)算由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的最短路線的長(zhǎng)．（單位：米）

Answer 1

分析：（1）設(shè)天橋?yàn)镻Q，則由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的最短路程為AQ+PQ+PB，由于PQ是定值，因此只需要考慮使AQ+PB最短．因?yàn)樗鼈兪欠稚⒌膬蓷l線段，故先將其中一條平移，如圖平移AQ到A′P，此時(shí)連接A′B交l₂于P，得橋址；
（2）過(guò)B作AA′的垂線，垂足為C，則在△A′BC中，運(yùn)用勾股定理求出A′B的長(zhǎng)，則由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的最短路線的長(zhǎng)：AQ+PQ+PB=A′B+PQ．

解答：解：（1）作法：①將點(diǎn)A豎直向下平移到點(diǎn)A′，使AA′=20，
②連接A′B，與l₂交于點(diǎn)P，
③過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l₁于Q，
④連接AQ、BP．
則天橋建在PQ處能使由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的路程最短，如圖；

（2）∵AA′∥PQ，AA′=PQ，
∴四邊形AA′PQ是平行四邊形，
∴AQ=A′P，
∴AQ+PB=A′P+PB=A′B．
過(guò)B作AA′的垂線，垂足為C．如圖．
在△A′BC中，∠C=90°，BC=60，A′C=AC-AA′=15+20+10-20=25，
則A′B=

BC2+A′C2

=65，
AQ+PQ+PB=A′B+PQ=65+20=85．
故由A經(jīng)過(guò)天橋走到B的最短路線的長(zhǎng)85米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，有一定難度，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”找到橋址的位置是解題的關(guān)鍵．