Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2，…，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn.下列結論正確的是(　　)

①四邊形A4B4C4D4是菱形；②四邊形A3B3C3D3是矩形；③四邊形A7B7C7D7的周長為；④四邊形AnBnCnDn的面積為.

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】①連接A1C1，B1D1．

∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；

∵AC丄BD，

∴A1B1丄A1D1，

∴四邊形A1B1C1D1是矩形，

∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；

∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），

∴四邊形A2B2C2D2是菱形；

∴四邊形A3B3C3D3是矩形；

∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；

故①②正確；

③根據(jù)中位線的性質易知，A7B7═A5B5=A3B3=A1B1=AC，B7C7=B5C5=B3C3=B1C1=BD，

∴四邊形A7B7C7D7的周長是2×（a+b）=，

故③正確；

④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

∴S四邊形ABCD=ab÷2；

由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/span>

四邊形AnBnCnDn的面積是 ，

故④錯誤；

綜上所述，①②③正確．

故選A．