Question

將邊長為4的正方形在如圖的平面直角坐標系中．點P是OA上的一個動點，且從點O向點A運動．連接CP交對角線OB于點D，連接AD．
（1）求證：△OCD≌△OAD；
（2）若△OCD的面積是四邊形OABC面積的

1

6

，求P點的坐標；
（3）若點P從點O運動到點A后，再繼續(xù)從點A運動到點B，在整個運動過程中，當△OCD恰為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）求出△OCD的面積是△COB的面積的

1

3

，求出OD：BD=1：2，根據(jù)相似推出OP：CB=1：2，即可求出OP；
（3）分為三種情況：①OC=OD時，②CD=OD時，③OC=CD時，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形OCBA是正方形，
∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，
在△OCD和△OAD中
∵

OC=OA ∠COD=∠AOD OD=OD

，
∴△OCD≌△OAD（SAS）；

（2）解：∵OCD的面積是四邊形OABC面積的

1

6

，
∴△OCD的面積是△COB的面積的

1

3

，
∵△ODC的邊OD上的高和△COB的邊OB上的高相等，
∴

OD

OB

=

1

3

，
∴

OD

BD

=

1

2

，
∵四邊形OCBA是正方形，
∴OA∥BC，
∴△OPD∽△BCD，
∴

OP

CB

=

OD

BD

=

1

2

，
∵BC=4，
∴OP=2，
即P的坐標是（2，0）；

（3）解：分為三種情況：①OC=OD時，P點的坐標是（4，8-4

2

）；

②CD=OD時，P點的坐標是（4，0）；

③OC=CD時，P點的坐標是（4，4）．

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．