Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示．

（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；

（3）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線(xiàn)BC上，距離點(diǎn)P為個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BCD是直角三角形；（3）S=．

【解析】

試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；

（2）先解方程求出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結(jié)論；

（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方和下方，分別計(jì)算即可．

試題解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線(xiàn)解析式為；

（2）令y=0，則，∴，，∴C（3，0），∵=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；

（3）如圖，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直線(xiàn)BC解析式為y=x﹣3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∵點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，∴P（t，t﹣3），M（t，），過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即t＜0或t＞3時(shí)，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．

綜上所述，S=．