(2006•徐州)如圖,已知AB是⊙O的直徑,PA是⊙O的切線,過點B作BC∥OP交⊙O于點C,連接AC.
(1)求證:△ABC∽△POA;
(2)若AB=2,PA=,求BC的長.(結果保留根號)

【答案】分析:此題首先要掌握圓的性質,直徑所對的圓周角是直角;根據(jù)切線的性質可得∠PAO=90°,根據(jù)平行線的性質,可得∠AOP=∠CBA,所以可證得△ABC∽△POA,根據(jù)相似三角形的性質,相似三角形的對應邊成比例可求得BC的長.
解答:(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵PA是⊙O的切線,
∴∠OAP=90°.
∵BC∥OP,
∴∠AOP=∠CBA.
則△ABC∽△POA.

(2)解:∵AB是⊙O的直徑,且AB=2,
∴OA=1.
∵在Rt△OAP中,PA=,

∵由(1)可知△ABC∽△POA,

則BC=
∴求得BC=
點評:此題考查了相似三角形的判定和性質,①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似;②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等,且夾角相等,那么這兩個三角形相似;③如果兩個三角形的兩個對應角相等,那么這兩個三角形相似.
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(2)求△OAC的面積;
(3)若P為線段OA(不含O、A兩點)上的一個動點,過點P作PD∥AB交直線OC于點D,連接PC.設OP=t,△PDC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式;S是否存在最大值?如果存在,請求出來;如果不存在,請簡要說明理由.

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(2)若AB=2,PA=,求BC的長.(結果保留根號)

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