(本題10分)如圖,P是雙曲線的一個(gè)分支上的一點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
(1)求當(dāng)為何值時(shí),⊙P與直線相切,并求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)直接寫(xiě)出當(dāng)為何值時(shí),⊙P與直線相交、相離.
(1)x=1或2 ,P的坐標(biāo)(1,4)或(2,2) (6分);
(2)  (4分)

分析:
(1)利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出,P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該有兩個(gè)求出即可;
(2)利用函數(shù)圖象進(jìn)而得出符合要求的答案.
解答:

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
∵P是雙曲線y="4/" x(x>0)的一個(gè)分支上的一點(diǎn),
∴xy=k=4,
∵⊙P與直線y=3相切,
∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為:2,
∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為:2,
∵⊙P′與直線y=3相切,
∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為:4,
∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為:1,
∴x=1或2,
P的坐標(biāo)(1,4)或(2,2)。
(2)結(jié)合圖象,即可得出:
當(dāng)1<x<2時(shí),⊙P與直線y=3相交,
當(dāng)x>2或0<x<1時(shí),⊙P與直線y=3相離。
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵。
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