(2009•益陽)如圖,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的長.
小萍同學靈活運用軸對稱知識,將圖形進行翻折變換,巧妙地解答了此題.
請按照小萍的思路,探究并解答下列問題:
(1)分別以AB、AC為對稱軸,畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形,D點的對稱點為E、F,延長EB、FC相交于G點,證明四邊形AEGF是正方形;
(2)設AD=x,利用勾股定理,建立關于x的方程模型,求出x的值.

【答案】分析:(1):先根據(jù)△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF,得出∠EAF=90°;再根據(jù)對稱的性質得到AE=AF,從而說明四邊形AEGF是正方形;
(2)利用勾股定理,建立關于x的方程模型(x-2)2+(x-3)2=52,求出AD=x=6.
解答:(1)證明:由題意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.(1分)
∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°.
∴∠EAF=90°.(3分)
又∵AD⊥BC,
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.(4分)
又∵AE=AD,AF=AD,
∴AE=AF.(5分)
∴四邊形AEGF是正方形.(6分)

(2)解:設AD=x,則AE=EG=GF=x,(7分)
∵BD=2,DC=3,
∴BE=2,CF=3.
∴BG=x-2,CG=x-3.(9分)
在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2
∴(x-2)2+(x-3)2=52(11分),
∴(x-2)2+(x-3)2=52,化簡得,x2-5x-6=0.
解得x1=6,x2=-1(舍),
所以AD=x=6(12分).
點評:本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理,建立關于x的方程模型的解題思想.要能靈活運用.
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(2)設AD=x,利用勾股定理,建立關于x的方程模型,求出x的值.

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