Question

如圖，AB是⊙0的直徑，AC切⊙0于點(diǎn)A，AD是⊙0的弦，OC⊥AD于F交⊙0于E，連接DE，BE，BD．AE．
（1）求證：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的長；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四邊形AEDB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)、垂直的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圓周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代換證得∠C=∠BED；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求AC的長；
（3）根據(jù)已知條件推知AE=BD=DE，然后由圓的弧、弦、圓心角間的關(guān)系知，從而求得∠BAD=30°；然后由直徑AB所對的圓周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所對的直角邊是斜邊的一半BD=AB=5，DE=5；最后（過點(diǎn)D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高線DH的長度，從而求得梯形ABDE的面積．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．

（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，
∴tan∠C=．
在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，
∴，解得．

（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，
∴BD=AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，
過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，
∴四邊形AEDB的面積=．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．解題時，注意知識的綜合利用．