Question

如圖，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB落在y=

k

x

上，CD經(jīng)過點(diǎn)E（0，2），F(xiàn)（2，0），線段AD被y軸垂直平分，S_梯形ABCD=8S_△EOA，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：△OEF是等腰直角三角形，則E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對稱，則A，B關(guān)于第一象限的角平分線對稱，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以證得四邊形AEFB是矩形，設(shè)AM=x，則AE=DE=CF=

2

x，ME=x，CD=2

2

x+2

2

．根據(jù)S_梯形ABCD=8S_△EOA，即可求得x的值，則A的坐標(biāo)即可求得，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k的值．

解答：解：連接AE，BF．
∵點(diǎn)E（0，2），F(xiàn)（2，0），
∴OE=OF=2，即△OEF是等腰直角三角形，且EF=2

2

．
則E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對稱，
又∵A，B在y=

k

x

上，且AB∥DC，
∴A，B關(guān)于第一象限的角平分線對稱．
∴∠OEF=45°，
∴∠DEM=45°，
∵M(jìn)E⊥AD，
∴∠D=90°-∠DEM=45°，
∵線段AD被y軸垂直平分，
∴∠DAE=∠D=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DC，
∵E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對稱，A，B關(guān)于第一象限的角平分線對稱，
∴四邊形AEFB是矩形．AB=EF=2

2

．
設(shè)AM=x，則AE=DE=CF=

2

x，ME=x，CD=2

2

x+2

2

．
S_梯形ADCB=

1

2

（AB+CD）•AE=

1

2

（2

2

+2

2

x+2

2

）•

2

x=（4+2x）x．
S△OEA=

1

2

OE•AM=

1

2

×2x=x．
∵S_梯形ABCD=8S_△EOA，
∴（4+2x）x=8x，解得：x=2，
則ME=2，OM=ME+OE=2+2=4，
則A的坐標(biāo)是（2，4），代入y=

k

x

，得：k=8．
故答案是：8．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，以及垂直平分線的性質(zhì)，正確證得四邊形AEFB是矩形是關(guān)鍵．