Question

如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)M是射線OB上的點(diǎn)，OM=4，以點(diǎn)M為圓心，2cm為半徑作圓．若OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OA和⊙M相切時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)的角度是

 

．

Answer 1

分析：OA與⊙O相切時(shí)，有兩種情況：①切線在OB右側(cè)；②切線在OB左側(cè)；解法相同，都是連接圓心與切點(diǎn)，通過構(gòu)建的直角三角形求解．

解答：解：如圖；
①當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到OE位置時(shí)，與圓M相切于點(diǎn)E，連接ME；
則ME=2，∠MEO=90°；
Rt△OEM中，sin∠MOE=

ME

OM

=

1

2

，
∴∠MOE=30°，
∴∠AOE=∠AOB-∠MOE=30°；
②當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到OF位置時(shí)，與圓M相切于點(diǎn)F，連接MF；
則MF=2，∠MFO=90°；
Rt△OFM中，sin∠MOF=

MF

OM

=

1

2

，
∴∠MOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°；
故OA旋轉(zhuǎn)的角度為30°或90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．需注意的是本題中，切線的位置有兩種可能，要分類討論，不要漏解．