Question

10．（1）如圖①，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正△ABC的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON，求∠MON的度數(shù)．
（2）圖②、③、…④中，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON；則圖②中∠MON的度數(shù)是90°，圖③中∠MON的度數(shù)是72°；…由此可猜測在n邊形圖中∠MON的度數(shù)是$\frac{360°}{5}$．

Answer 1

分析 （1）連接OB、OC，可證明△OBM≌△OCN，可求得∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理可求得圖②、圖③和正n邊形的圖中∠MON和正多邊形的中心角相等，可求得答案．

解答 解：
（1）連接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°，
在△OBM和△OCN中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$

∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理在圖②中可求得∠MON=∠BOC=90°，
在圖③中可求得∠MON=∠BOC=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴在n邊形圖中，∠MON=∠BOC=$\frac{360°}{n}$，
故答案為：90°；72°；$\frac{360°}{5}$．

點評 本題為圓的綜合應用，涉及正多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識．構造三角形全等是解題的關鍵，注意歸納推理，本題難度不大．