Question

【題目】某校九年級數(shù)學興趣小組在探究相似多邊形問題時，他們提出了下面兩個觀點：

觀點一：將外面大三角形按圖1的方式向內縮小，得到新三角形，它們對應的邊間距都為，則新三角形與原三角形相似．

觀點二：將鄰邊為和的矩形按圖2方式向內縮小，得到新的矩形，它們對應的邊間距都為，則新矩形與原矩形相似．

請回答下列問題：

（1）你認為上述兩個觀點是否正確？請說明理由．

（2）如圖3，已知，，，，將按圖3的方式向外擴張，得到，它們對應的邊間距都為，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）觀點一正確，觀點二不正確，見解析；（2）54

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形以及相似多邊形的判定定理來判定甲乙的觀點是否正確；
（2）首先根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的內切圓半徑，進而△DEF的內切圓的半徑，根據(jù)相似三角形的性質以及面積公式即可求出△DEF的邊長，進而求出△DEF的面積．

解：（1）答：觀點一正確，觀點二不正確．

理由：①如圖1，連接并延長至，

和對應的邊間距都為

，．

，．

．

即．同理．

觀點一正確．

②如圖2，由題意知，原矩形的鄰邊為和，則新矩形對應的鄰邊為和．

，，

，

新矩形與原矩形不相似．

觀點二不正確．

（2）如圖3，作射線，交于點．

到邊、的距離都為，

是的角平分線．

同理：是的角平分線，

點是與的內心．

，，，

是直角三角形．

設的內切圓半徑為．則．解得：．

過作于點，交于點．

，

．

．

由（1）可知．

．同理．

，．

的面積為．