Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰△OAB的頂點A在第一象限，底邊OB在x軸的正半軸上，且AO=AB=10cm，OB=12cm．動點C從點A出發(fā)，沿AO邊向O點運動（不與O點重合），速度為1cm/s，運動時間為ts．過點C作CD∥OB交AB于點D．以CD為邊，在點A的異側作正方形CDEF．
（1）若正方形CDEF與△OAB重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）連接OF，當t為何值時，△OCF為等腰三角形？

Answer 1

考點：相似形綜合題,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的性質,勾股定理,平行四邊形的判定與性質,正方形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）首先考慮點F在OB上時所對應的S和t的值，然后分別對點F在△OAB內部、外部進行討論，就可解決問題．
（2）由于△OCF為等腰三角形時腰并不確定，因此可分三種情況（①FO=FC，②CO=CF，③OC=OF）進行討論，只需根據(jù)線段之間的數(shù)量關系建立關于t的方程，就可解決問題．

解答：解：（1）①當點F在OB上時，
過點A作AH⊥OB于H，交CD于G，如圖1①．

則有∠AHE=90°．
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠DCF=∠CFE=90°．
∴∠AHE=∠CFE=90°．
∴CF∥GH．
∴∠AGC=∠DCF=90°．
∴AG⊥CD．
∵CD∥OB，CF∥GH，
∴四邊形CGHF是平行四邊形．
∴CF=GH．
∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=BH=

1

2

OB=6．
∵∠AHO=90°，OA=10，OH=6，
∴AH=8．
設正方形CDEF的邊長為x，
則GH=CF=CD=x，AG=AH-GH=8-x．
∵CD∥OB，∴△ACD∽△AOB．
∵AG⊥CD，AH⊥OB，
∴

AG

AH

=

CD

OB

=

AC

AO

．
∴

8-x

8

=

x

12

=

t

10

．
解得：x=

24

5

，t=4．
∴S=

576

25

．
②當點F在△OAB內部時，0＜t＜4，如圖1②．

∵△ACD∽△AOB，
∴

CD

OB

=

AC

AO

．
∴

CD

12

=

t

10

．
∴CD=

6t

5

．
∴S=CD²=

36t2

25

．
③當點F在△OAB外部時，4＜t＜10，
過點A作AH⊥OB于H，如圖1③．

則有CD=

6t

5

，OC=10-t，AH=8，CM∥AH．
∴△OMC∽△OHA．
∴

CM

AH

=

OM

OH

=

OC

OA

．
∴

CM

8

=

OM

6

=

10-t

10

．
∴CM=8-

4t

5

，OM=6-

3t

5

．
∴S=CD•CM=

6t

5

•（8-

4t

5

）=-

24

25

t²+

48

5

t．
綜上所述：當0＜t≤4時，S=

36t2

25

；當4＜t＜10時，S=-

24

25

t²+

48

5

t．

（2）①若FO=FC，如圖2①．

此時點F在△OAB內部，0＜t＜4．
過點A作AH⊥OB于H，延長CF交OB于點T，
由（1）得：CF=CD=

6t

5

，CT=8-

4t

5

，OT=6-

3t

5

．
則FT=CT-CF=8-

4t

5

-

6t

5

=8-2t．
∵∠FTO=90°，∴FT²+OT²=OF²．
∴（8-2t）²+（6-

3t

5

）²=（

6t

5

）²．
整理得：73t²-980t+2500=0．
解得：t₁=

250

73

，t₂=10．
∵0＜t＜4，∴t=

250

73

．
②若CO=CF，如圖2②．
此時點F在△OAB外部，4＜t＜10．

∵CF=CD=

6t

5

，OC=10-t，CF=CO，
∴

6t

5

=10-t．
解得：t=

50

11

．
③若OC=OF，如圖2③．

此時點F在△OAB外部，4＜t＜10．
則有CM=8-

4t

5

，CF=CD=

6t

5

．
∵OC=OF，OM⊥CF，
∴CM=FM=

1

2

CF．
∴8-

4t

5

=

1

2

×

6t

5

．
解得：t=

40

7

．
綜上所述：當t為

250

73

秒或

50

11

秒或

40

7

秒時，△OCF為等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、等腰三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，有一定的綜合性，而考慮臨界位置及分類討論則是解決本題的關鍵．