【題目】如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā),以3cm/s的速度向點O運動,直到點O為止;動點Q同時從點C出發(fā),以2cm/s的速度向點B運動,與點P同時結(jié)束運動.
(1)當運動時間為2s時,P、Q兩點的距離為 cm;
(2)請你計算出發(fā)多久時,點P和點Q之間的距離是10cm;
(3)如圖2,以點O為坐標原點,OC所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,1cm長為單位長度建立平面直角坐標系,連結(jié)AC,與PQ相交于點D,若雙曲線過點D,問k的值是否會變化?若會變化,說明理由;若不會變化,請求出k的值.
【答案】(1)6;(2)t=或t=,理由見解析;(3)k的值是不會變化,k= ,理由見解析
【解析】
(1)構(gòu)造出直角三角形,再求出PE,QE,利用勾股定理即可得出結(jié)論;
(2)同(2)的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論;
(3)先求出直線AC解析式,再求出點P,Q坐標,進而求出直線PQ解析式,聯(lián)立兩解析式即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,由運動知,AP=3×2=6cm,CQ=2×2=4cm,
過點P作PE⊥BC于E,過點Q作QF⊥OA于F,
∴四邊形APEB是矩形,
∴PE=AB=6,BE=6,
∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6,
根據(jù)勾股定理得,PQ=6,
故答案為6;
(2)設運動時間為t秒時,
由運動知,AP=3t,CQ=2t,
同(2)的方法得,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,
∵點P和點Q之間的距離是10cm,
∴62+(16﹣5t)2=100,
∴t=或t=;
(3)k的值是不會變化,
理由:∵四邊形AOCB是矩形,
∴OC=AB=6,OA=16,
∴C(6,0),A(0,16),
設AC直線為y=kx+b,
把C(6,0),A(0,16)代入得,解得
∴直線AC的解析式為y=﹣x+16①,
設運動時間為t,
∴AP=3t,CQ=2t,
∴OP=16﹣3t,
∴P(0,16﹣3t),Q(6,2t),
設PQ直線為y=kx+b,
把P(0,16﹣3t),Q(6,2t),代入得,解得
∴PQ解析式為y=x+16﹣3t②,
聯(lián)立①②解得,x=,y=,
∴D(,),
∴k=×=是定值.
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【題目】如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,且其中一個根為另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.以下關于倍根方程的說法,正確的是________.(寫出所有正確說法的序號).
①方程是倍根方程;
②若是倍根方程,則;
③若點在反比例函數(shù)的圖像上,則關于的方程是倍根方程;
④若方程是倍根方程,且相異兩點, 都在拋物線上,則方程的一個根為.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E,若BF=12,AB=10,則AE的長為( )
A.16 B.15 C.14 D.13
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC中點,F是AC中點,AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線,延長DF交AN于點E,連接CE.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)填空:①若BC=AB=4,則四邊形ABDE的面積為 .
②當△ABC滿足 時,四邊形ADCE是正方形.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關系?請說明理由;
(3)設AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點A作AC平行于x軸交y軸于點C,在y軸負半軸上取一點D,使OD=OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,是直角三角形,,點的坐標分別為,
(1)求過點的直線的函數(shù)表達式
(2)在軸上找一點,連接,使得與相似(不包括全等),并求點的坐標;
(3)在⑵的條件下,如分別是和上的動點,連接,設,問是否存在這樣的使得與相似,如果存在,請求出的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點C.過點C作CD∥x軸,交拋物線的對稱軸于點D.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若將該拋物線向下平移m個單位,使其頂點落在D點,求m的值.
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