Question

（11·珠海）（本題滿分9分）已知：如圖，銳角△ABC內接于⊙O，∠ABC＝45°；

點D是上一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E，且DE∥BC；連結AD、BD、

BE，AD的垂線AF與DC的延長線交于點F．

（1）求證：△ABD∽△ADE；

（2）記△DAF、△BAE的面積分別為S_△DAF、S_△BAE，求證：S_△DAF＞S_△BAE．

 

Answer 1

證明：（1）連結OD．                              ……………………1分

                 

 

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE．

又∵DE∥BC，

∴OD⊥BC．

∴＝．                                    ……………………2分

∴∠BAD＝∠EAD．

∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，

∴∠BDA＝∠DEA．

∴∠BAD＝∠EAD，

∴△ABD∽△ADE．                              ……………………5分

（2）由（1）得＝，即AD²＝AB·AE              ……………………6分

設在△ABE中，AE邊上的高為h，則：

∴S_△ABE＝ h·AE，且h＜AB．

由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF為等腰直角三角形

∴S_△DAF＝ AD²．                                ……………………8分

∴S_△DAF＝S_△BAE

∴△DAF＞△BAE．                      

解析:略